UCLA Mersenne Prime
Original artikel: https://www.math.ucla.edu/~edson/prime/
I august 2008 blev et nyt Mersenne-primtal opdaget på en af computerne, der tilhører UCLA Mathematics Department's Program in Computing (PIC). Dette tal viser sig at være verdens største kendte primtal, og opdagelsen har skabt stor interesse. I et forsøg på at spare alle tid og energi, tænkte jeg, at jeg ville lægge nogle oplysninger op på nettet i FAQ-format.
Da en række af de spørgsmål, jeg har modtaget, er kommet fra folk med ikke-teknisk baggrund (inklusive børn), er denne FAQ ikke-teknisk. Du skal dog vide, hvad et primtal er.
Jeg er dog tvunget til at give denne advarsel: Selvom jeg arbejder for Matematikafdelingen, er jeg en systemadministrator, ikke en matematiker! Hvis du leder efter seriøs Mersenne Prime-information, henviser jeg dig til Chris Caldwells fremragende websted Mersenne Primes: History, Theorems and Lists. Andre interessante steder inkluderer Wolframs Mersenne Prime-side og Landon Curt Nolls underholdende Mersenne Prime Digits and Names.
Nu til spørgsmålene!
Q. Så hvad er en Mersenne Prime?
EN. Kort sagt er der en bestemt underklasse af primtal kendt som Mersenne-primtal. De er opkaldt efter Marin Mersenne, en matematiker fra det 17. århundrede. På tidspunktet for denne skrivning er der færre end 50 kendte Mersenne Primes.
Mersenne-primtal har alle form af 2 P -1, hvor P er et kendt primtal. Det første Mersenne primtal er 3, fordi 2 2 -1 = 3. Bemærk, at eksponenten P er et primtal, i dette tilfælde 2. Det næste Mersenne primtal er 7, fordi 2 3 - 1 = 7 , hvor P er primtallet 3. Dernæst kommer 31 (2 5 - 1), derefter 127 (2 7 - 1), 8191 (2 13- 1) og 131071 (2 17 - 1).
Som du kan se, bliver Mersenne Primes meget hurtigt store efter de første par. Der er en flot tabel over de kendte Mersenne Primes her, som vil give lidt perspektiv.
Det mindste af disse tal var kendt i oldtiden, men så sent som i 1951 var kun 12 blevet opdaget. I løbet af de sidste 50 år er flere dusin flere blevet afsløret ved hjælp af computere. De senest opdagede Mersenne Primes er svimlende store med millioner af cifre. UCLA Mersenne Prime er omkring 12,9 millioner cifre i længden.
Bemærk, at alle Mersenne-primtal er primtal, men meget få primtal er Mersenne-primtal.
Q. Hvad er UCLA Mersenne Prime? Hvorfor er det specielt?
EN. UCLA Mersenne Prime er den første prime opdaget, som har over 10 millioner cifre. Det blev opdaget ved UCLA Mathematics-afdelingen den 23. august 2008.
Alle Mersenne Primes er specielle, fordi de er så sjældne, men denne har fået ekstra opmærksomhed, fordi den kvalificerer sig til en præmie (se nedenfor).
UCLA Mersenne-primtallet er 2 43112609 - 1. Det faktiske tal har 12.978.189 cifre. Hvis du er så tilbøjelig, har den mangeårige Mersenne Prime-forsker Landon Curt Noll gjort selve nummeret tilgængeligt her. Hvis du er virkelig, virkelig tilbøjelig, giver han også hele nummeret på engelsk (alle 328 megabyte af det) her.
Q. Er dette UCLA's første Mersenne Prime?
EN. Faktisk er dette UCLAs ottende Mersenne Prime!
I 1952 fandt professor Raphael Robinson 5 nye Mersenne Primes ved hjælp af UCLA's Standards Western Automatic Computer (SWAC), en af sin tids hurtigste computere. Disse var den 13. til 17. Mersenne Primes opdaget, og hver havde hundredvis af cifre. Robinsons Mersenne Primes var de første, der blev fundet i 75 år, og de første, der blev opdaget ved hjælp af en digital computer.
I 1961 opdagede UCLA-matematiker Alexander Hurwitz den 19. og 20. Mersenne Primes på UCLA Computer Centers IBM 7090mainframe. Hvert af disse numre havde over 1200 cifre.
Nu, 47 år senere, fortsætter UCLA-traditionen med at finde Mersenne Primes!
Q. Hvem leder efter Mersenne Primes? Hvordan har de det?
EN. Tusindvis af mennesker, der bruger titusindvis af computere, deltager i Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), en organiseret indsats dedikeret til søgningen efter Mersenne Primes. Dette er en af mange igangværende bestræbelser inden for distribueret databehandling, og uden tvivl den mest succesfulde.
Søgningen er meget velorganiseret. De gode folk hos Primenet har koordineret indsatsen i de sidste 12 år og sørger for den fremragende Prime95programmet gratis for alle, der ønsker at køre det. De holder styr på, hvilke numre der er blevet testet, og giver en lind strøm af utestede kandidatnumre til GIMPS-fællesskabet. GIMPS-deltagere rangeres efter deres produktivitet. Du kan finde os under navnet UCLA_Math; Vi er typisk placeret et sted mellem 40. og 55. pladsen.
Det kan tage en enkelt maskinmåneder at teste kun ét kandidatnummer, men ved at udnytte kraften fra internetforbundne individuelle computere over hele verden kan der gøres hurtige fremskridt.
Q. Hvad er oddsene for at opdage en Mersenne Prime?
EN. Ifølge GIMPS-projektet odds for at et hvilket som helst kandidatnummer viser sig at være en Mersenne Prime er 1 ud af 150.000.
Q. Hvordan tester du faktisk tal for at se, om de er Mersenne Primes?
EN. Der er masser af tal af formen 2P-1, men kun meget få af dem er Mersenne Primes. Der er en række teknikker til at teste disse tal for at se, om de er Mersenne-primtal, men den indledende metode er at forsøge at faktorisere kandidateksponenten, P, og derefter at forsøge at faktorisere kandidatens primtal, 2P-1, nogle små primtal.
Der er en 75 år gammel algoritme kaldet Lucas-Lehmer Test, som er almindeligt anerkendt som det bedste værktøj til at teste Mersenne Primes. Prime95-programmet gør udstrakt brug af denne metode, såvel som nogle andre. En forklaring ligger uden for dette dokuments omfang, men den interesserede læser kan lære mere her.
Q. OK, hvorfor leder folk efter Mersenne Primes? Hvad er de gode til?
EN. Af samme grunde som folk klatrer i bjerge, sejler på ukendte hav og udforsker kosmos. Det er en udfordring! Det er spændende at skubbe på rammen af beregningsmatematik og at søge efter noget ukendt, som du tror er derude. Som bonus kan vi i modsætning til gamle opdagelsesrejsende sidde i komfortable kontorstole, mens vi søger!
Dette betyder ikke, at der ikke er nogen matematisk værdi i Mersenne Primes. De er bestemt af værdi inden for kryptografi og kan have andre anvendelser, der endnu ikke er opdaget.
Primetalsforsker Chris Caldwell udforsker dette spørgsmål mere dybdegående i sin artikel "Hvorfor finder folk disse primtal?".
Q. Bortset fra udfordringen, hvorfor besluttede du dig for at deltage?
EN. Som det har været tilfældet på mange andre steder, indså vi, at vores store (75 sæder) PIC/Math Computer Lab kun brugte en brøkdel af sin tilgængelige CPU-kraft. I stedet for at lade alle disse cyklusser gå til spilde, så vi på en række distribuerede databehandlingsprojekter, og fandt ud af, at GIMPS var den bedste løsning for os. Ud over at GIMPS er passende at være et matematik-baseret projekt, fandt vi ud af, at det var meget velskrevet og ikke forstyrrede de studerendes computerbrugere (dette var ikke sandt for nogle af de andre projektsoftware, vi undersøgte).
Programmet i Computering (PIC)trækker studerende fra hovedfag over hele campus, så det var vigtigt for os, at alle laboratoriedækkende computerprojekter var forståelige for alle involverede. GIMPS passer bestemt til regningen her, og som en bonus troede vi, at den uformelle konkurrence mellem GIMPS-websteder ville være interessant for vores elever at følge og øge deres bevidsthed om beregningsmatematik.
Q. Hvad gjorde du for at køre dette? Var det kompliceret?
EN. GIMPS Prime95-softwaren er meget ligetil fra et systemadministrativt perspektiv. Det er nemt at installere og kræver ikke vedligeholdelse.
Prime95-softwaren udsender regelmæssige opdateringer om dens behandlingsstatus til de centrale Primenet-computere. Hvis maskinen, den kører på, går ned, starter beregningerne igen, hvor de slap, når computeren kommer op igen. Hvis en individuel boks er nede i en længere periode, vil Primenet kræve nummeret tilbage og tildele det til en anden, og tildele et nyt nummer, når maskinen vender tilbage til drift.
Q. Hvordan fungerer verifikation?
EN. Når en Mersenne Prime er fundet, sker der ikke en formel meddelelse, før en uafhængig tredjepart validerer kravet. Med usædvanligt store tal som disse er der altid en lille chance for et beregningsproblem med den anvendte algoritme eller med selve computerens CPU (Intel Floating Point Problem et klassisk eksempel på dette).
På grund af disse potentielle problemer valideres Mersenne Primes altid ved hjælp af en helt anden algoritme på en computer med en anden arkitektur. Bekræftelse kan tage to uger eller længere.
Q. Hvornår fandt opdagelsen sted? Hvilken slags computer blev brugt?
EN. UCLA Mersenne Prime blev rapporteret den 23. august 2008 på en computer ved navn zeppelin.pic.ucla.edu, en Dell Optiplex 745, der kører Windows XP med en Intel Core 2 Duo E6600 CPU, der kører ved 2,4 GHz. Navnet "zeppelin" var en del af vores Classic Rock Band-serie af computere.
Q. Hvad er alt det her med præmiepenge?
EN.Electronic Frontier Foundation(EFF), internettets førende organisation for borgerlige frihedsrettigheder, sponsorerer Cooperative Computing Awards. Disse priser er beregnet til at "opmuntre almindelige internetbrugere til at bidrage til at løse enorme videnskabelige problemer," og har præmiepenge, når visse benchmarks er opnået.
EFF har en stående pris på $100.000 for det første primtal med 10 millioner cifre, der skal opdages. UCLA Mersenne Prime har næsten 12,9 millioner cifre og opfylder tildelingskriterierne. Når de formelle resultater er offentliggjort i et passende tidsskrift, vil prisen blive uddelt. Det vil tidligst være i 2009.
Efter allerede eksisterende aftale, vil kun 50% af prisen gå til opdageren af den 10 millioner cifrede prime. 25 % er øremærket til velgørenhed, og i anerkendelse af GIMPS' samarbejdsmæssige karakter vil størstedelen af de resterende 25 % gå til opdagerne af andre Mersenne Primes, med et lille beløb til GIMPS selv.
Q. Hvad er det, jeg hører om en plakat? Vil der være en til UCLA Mersenne Prime?
EN. I årevis har et firma ved navn Perfectly Scientific lavet en plakat med det største i øjeblikket kendte eksplicitte primtal. Plakaten til M44, der blev produceret i 2006, brugte en ekstremt lille skrifttype til at presse 9,8 millioner cifre på en enkelt 29" gange 40" plakat. Virksomheden tilbød en guldsmeds lupe sammen med plakaten, bare så den kunne læses.
Richard Crandall fra Perfectly Scientific kontaktede mig for nylig for at fortælle mig, at UCLA Mersenne Prime-plakaten nu kan købes. Det koster $99, uindrammet og tilgængeligt på Perfectly Scientific-webstedet.
Q. Hvad med den anden nyligt opdagede Mersenne Prime?
EN. To uger efter at UCLA Mersenne Prime blev opdaget, blev yderligere 10 millioner cifre plus Mersenne Prime opdaget af Hans-Michael Elvenich i Tyskland. Med 11,2 millioner cifre er den omkring 10 % mindre end UCLA Mersenne Prime.
Det er ikke første gang, at Mersenne Primes er blevet opdaget ude af drift. I 1988 opdagede Colquitt og Welsh en Mersenne Prime mindre end de to foregående, opdaget i 1983 og 1985.
På det tidspunkt, hvor dette skrives, er UCLA Mersenne Prime betragtet som den 46. Mersenne Prime (kaldet "M46" af Mersenne Prime-søgende samfund), selvom det var den 45. opdaget. Elvenichs Mersenne Prime er M45, men var den 46. opdaget!
Som en yderligere komplikation er ikke alle de potentielle primtal mellem M39 (opdaget i 2001) og UCLA Mersenne Prime blevet testet, så der kan findes flere i det interval på en fremtidig dato. Hvis de er, vil UCLA Prime blive "forfremmet" til M47.
