Maxwell-Boltzmannova distribuce

Původní článek: https://faculty.wcas.northwestern.edu/infocom/Ideas/mbdist.html

Maxwell-Boltzmannovo rozdělení je rovnice, poprvé odvozená Jamesem Clerkem Maxwellem v roce 1859 a rozšířená Ludwigem Boltzmannem v roce 1868, která udává pravděpodobnost, že se jakákoli daná molekula plynu v ideálním plynu bude pohybovat specifickou rychlostí. I když často mluvíme o ideálním plynu, který má „konstantní“ teplotu, je zřejmé, že každá molekula ve skutečnosti nemůže mít stejnou teplotu. Je to proto, že teplota souvisí s molekulární rychlostí a umístit 10 20 molekul plynu do uzavřené komory a nechat je náhodně na sebe narážet je nejlepší způsob, který mě napadá, jak zaručit, že se nebudou všechny pohybovat stejnou rychlostí.

Graf ukazuje Maxwell-Boltzmannovu křivku rychlosti-pravděpodobnosti pro ideální plyn při dvou teplotách. Pravděpodobnost je vykreslena podél osy y ve více či méně libovolných jednotkách; rychlost molekuly je vynesena na ose x v m/s. Tato křivka přesně spojuje (okamžitou) rychlost molekuly plynu s relativní pravděpodobností, že tuto rychlost bude mít. Všimněte si, že křivky mají výrazné vrcholy, které odpovídají nejpravděpodobnější rychlosti molekuly a (přibližně) absolutní teplotě plynu. Měli bychom si uvědomit dvě věci:

1) Maxwell-Boltzmannovy křivky se značně liší pro plyn při 80 °K a 300 °K. Když se plyn ochladí, nejen že se jeho vrchol posune doleva (nižší teplota = pomalejší molekuly), ale jeho vrchol se také stane vyšší a mnohem užší. Při nižších teplotách je k dispozici méně energie, takže molekuly plynu mají tendenci mít slabší srážky a pohybovat se rychlostí, která se od sebe tolik neliší. V limitu, kdy se ideální plyn dostane na absolutní nulu, by se molekuly přestaly pohybovat úplně, a proto by ve skutečnosti byly konstantní rychlostí.

2) Při vyšších teplotách se Maxwell-Boltzmannovy křivky zplošťují. K dispozici je více energie, takže nyní existuje mnohem více energetických kolizí, které mohou potenciálně pohánět molekulu mnohem rychleji, než je průměrná rychlost. Všimněte si zejména krajní pravé oblasti obou křivek. Při rychlosti 1000 m/s je pravděpodobnost, že molekula T=80 bude mít tuto rychlost v podstatě nulová. Ale pro T=300 je pravděpodobnost jen malá, ne nulová. Proto, i když procento molekul T=300 pohybujících se rychlostí 1000 m/s je podle jakéhokoli standardu nepatrné, poměr pravděpodobnosti pro plyny T=300 a T=80 je poměrně velká, protože dělení případem T=80 je téměř jako dělení nulou. Jinými slovy, relativně mírné zvýšení teploty v plynu může znásobit počet extrémně horkých molekul s nízkou pravděpodobností stokrát nebo tisíckrát. To se ukazuje jako kritické pro produkci energie hvězd, což je téma, kterému se budu věnovat později v kurzu.